Problema 3.7

El tensor de tensiones en el punto P esta definido como:

$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8&{ - 4}&1\\ { - 4}&3&{1/2}\\ 1&{1/2}&2 \end{array}} \right]$$

Calcular el vector de tracción en el punto P según la normal del plano ABC (ver figura) y descompongalo en su componente normal y tangencial.



In [1]:

    
import numpy as np
from numpy import array, cross, dot , sqrt
from sympy import *
from IPython.display import Image,Latex



In [2]:

    
Image(filename='FIGURES/Ejer3_7.png',width=250)









    Out[2]:

Solución:



In [3]:

    
sigma = array([[8.0, -4.0 , 1.0] , [-4.0 , 3.0, 0.5] , [1.0, 0.5, 2.0]])
print sigma









    



[[ 8.  -4.   1. ]
 [-4.   3.   0.5]
 [ 1.   0.5  2. ]]

Se calcula el vector normal de acuerdo con:

${{\vec r}_{AC}} = {{\vec r}_C} - {{\vec r}_A}$

${{\vec r}_{AB}} = {{\vec r}_B} - {{\vec r}_A}$

$$\hat n = \frac{{{{\vec r}_{AB}} \times {{\vec r}_{AC}}}}{{\left| {{{\vec r}_{AB}} \times {{\vec r}_{AC}}} \right|}}$$



In [4]:

    
ra = array([3,0,0])
rb = array([0,2,0])
rc = array([0,0,5])
rac =rc-ra
rab =rb-ra
N = cross(rab,rac)
mag = sqrt(N.dot(N))
n = array([N[0]/mag, N[1]/mag, N[2]/mag])
print rab , rac , n









    



[-3  2  0] [-3  0  5] [10/19 15/19 6/19]

con lo cual es posible calcular el vector de tracciones usando la formula de Cauchy:

$$\vec t = \left[ \sigma \right] \cdot \hat n$$



In [5]:

    
t = dot(sigma,n)
print t









    



[1.36842105263158 0.421052631578947 1.55263157894737]

Se calcula ahora la componente normal y tangencial de acuerdo con:

$${\sigma} = \vec t \cdot \hat n$$$${\tau ^2} = \vec t \cdot \vec t - {\sigma ^2}$$



In [6]:

    
magt = dot(t,t)
signn = dot(t,n)
taus =sqrt(magt-signn*signn)
print signn , sqrt(magt) , taus









    



1.54293628808864 2.11199581339298 1.44217680146670



In [7]:

    
from IPython.core.display import HTML
def css_styling():
    styles = open('./custom_barba.css', 'r').read()
    return HTML(styles)
css_styling()









    Out[7]: